古典音樂與數學
知名古希臘數學家暨哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras）是有記載以來最早提出數學與音樂連結的人物之一。他發現了振動弦的音高變化與長度之間的關係。如果兩條弦的長度比是2：3，那麼兩弦音程就會是完全五度（例如D—A）。他的理論後來被柏拉圖在《論靈魂》加以深入討論與發展。
不搞得太複雜的話，我們也能在關於節奏分割的兩個話題上找到這種連結。如果想一下傳統記譜法，我們在譜號旁邊首先會看到的東西是「拍號」。（圖1）
▲圖1：拍號
這兩個數字告訴演奏者這首曲子的每個小節如何分割。在3/4拍的例子中，每個小節最多三個四分音符。這個小節能包含各種不同的時值變化，只要加起來是三個四分音符（亦即三個一拍）就行。於是數學又扯上關係了。
接著就能說到音符時值的各種分割，彼此之間的關係本身就能被視為數學關係（圖2）
▲圖2：音符的數學關係
圖2描繪了全音符（最上方）被漸次分割成更小的時值，每次都是一分為二。
節拍器記號也能與數學有關。這種音樂指示法告訴演奏者樂曲的準確速度，而不是以詞語描述。作曲家往往會寫「快板」、「行板」、「慢板」來指示他們作品的速度與性格，但這些詞語並不能傳達樂曲的實際速度。節拍器記號是音樂速度的數字表達形式。如果作曲家希望一首樂曲每秒演奏一個四分音符，那麼他就能把節拍器記號寫成「四分音符=60」（圖3）
▲圖3：四分音符=60
以此類推，「四分音符=120」就是兩倍快；「四分音符=180」則是三倍快。
阿諾．荀貝格（Arnold Schoenberg）發明了一種全然革命性的作曲技法，世稱「序列主義」（Serialism）。荀貝格創造這種作曲工具，以打破傳統調性作曲系統的桎梏。在荀貝格的取徑當中，他准許半音階上的每個音有著一樣的重要性，並完全捨棄調性概念。他的學生，阿班．貝爾格（Alban Berg）與安東．魏本（Anton Webern）也各自以大相逕庭的風格採取這種作曲技法，但兩人都基於人稱「音列」（tone-rows）的技巧。
音列構成作品的根基，提供音樂素材。建構音列，根據荀貝格的原則，就是在半音階的每個音出現之前不重複使用同樣音高。這也就是說，半音階裡的12個音高在音列當中出現機會均等。
從這些概念出發，你就能開始了解作曲過程中的數學會是什麼樣子。後來的作曲家，像是布列茲（Pierre Boulez）、卡特（Elliott Carter）、許托克豪森（Karlheinz Stockhausen），以及某部份的梅湘（Olivier Messiaen），他們都以序列手法決定音樂中的幾乎所有面向，從音高、節奏、乃至於作品整體結構。這種手法為作品帶來的效果必須實際聆聽。對很多人來說，這種讓音樂更加數學化的發展，有點走得太前面，某種意義上來說又幾乎抹除了讓所有人親近作曲成果的可能性。
（布列茲在雙鋼琴作品《結構》中使用的整體序列手法，詳細分析可見《MUZIK古典月刊》2016年7月號第110期。）
在希臘作曲家協納基斯（Iannis Xenakis）的作品當中，他直接使用隨機數學（stochastic mathematics）作曲。他宣稱每個對數學概念有基本掌握的人都能使用這種技法，不過我覺得他好像低估了這項任務的複雜程度。對我來說，協納基斯產出了很多重要作品，其中的音樂性並未受背後的作曲程序所掩蓋。他其中一件劃時代的作品是1954年的《轉移》Metastaseis），使用了十二音技法以及費氏數列來探討愛因斯坦的時間觀。這首音樂以一種開放坦承的方式與數學產生直接連結，就我所知是前無古人的。成果令人屏息，美得獨一無二。
